これが今流の数理統計学か

一様分布$U[0,1]$に従う確率変数Xの平方根$Y=\sqrt{X}$の分布を導き、その期待値と分散を計算する宿題を出した。

Yの分布関数は極めて簡単で以下のようになる。後の計算も簡単だが、年をとってくるとミスをしやすい。

\begin{eqnarray} G(y) & = & P(Y\le y) \\  & = & P(\sqrt { X } \le y) \\  & = & P(X\le { y }^{ 2 }) \\  & = & F({ y }^{ 2 }) \\  & = & { y }^{ 2 } \end{eqnarray}

分布関数が分かったので、数式処理ソフトMaximaを利用して以下のようにする。

手計算はほとんどない状態だ。Yの密度関数$g(y)$をセットする時、すでに定義済みの分布関数$G(y)$を用いて、diff(G(y),y,1)と書けば、より汎用的になる。

考えてみれば、多数桁の掛け算を簡単にするため対数表が「発明」された。微分方程式を簡単に解くためにラプラス変換が使われた。手計算は面倒で間違えやすい。「おおっと…」と途中で間違いに気づいた時、電子ノートならまだしも、紙に鉛筆では消しゴムで消すのも面倒だ。消さないとハサミとノリで切り貼りだ。より効率的で正確なツールが提供されれば、そちらを利用するのは当たり前だ。これも確かに一つの立場だろうと思う。

良い授業は、良いツールを活用しながら、大事な結論を洞察していくことだ。手ではなく頭を使う方が結局は深い理解が得られる。だとすれば、こんな進め方が今流なのかもしれない。

最後に、下のようなグラフを示して計算が現実に当てはまっていることをクラスの履修者に納得してもらった。

計算結果に近い結果が実際にも得られることを知るのは、勉強には実は一番大事な点なのかもしれない。